量子线路上常见的量子门

Pauli-X 门

X 门也称为泡利-X 门（Pauli-X gate）, 它作用在单量子比特上, 与经典计算机上的NOT门等价, 将量子态进行翻转, 量子态变化方式如下:

Pauli-X门矩阵形式为泡利矩阵$\sigma_x$, 即:

量子线路显示如下图:

假设 NOT 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上, 可得到新的量子态如下:

Pauli-Y 门

Y 门也称为泡利-Y 门（Pauli-Y gate）, 它作用在单量子比特上, 它的作用是能够使Bloch球上的箭头绕$Y$轴旋转角度$\pi$ .

Pauli-X门矩阵形式为泡利矩阵$\sigma_y$, 即:

量子线路显示如下图:

假设 NOT 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上, 可得到新的量子态如下:

Pauli-Z 门

Z 门也称为泡利-Z 门（Pauli-Z gate）, 它作用在单量子比特上, 它的作用是能够使Bloch球上的箭头绕$Z$轴旋转角度$\pi$ .

Pauli-X门矩阵形式为泡利矩阵$\sigma_z$, 即:

量子线路显示如下图:

假设 NOT 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上, 可得到新的量子态如下:

Hadamard (H)门

Hadamard 门是一种可将基态变为叠加态的量子逻辑门, 简称为H门, 它作用在单比特上, 它对量子基态的变化方式如下:

Hadamard 门矩阵形式为:

量子线路显示如下图:

假设 Hadamard 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上, 可得到新的量子态如下:

S 门

S 门，也称为相位门，是一种单量子比特量子逻辑门，它主要改变量子态的相位，而不改变状态的概率幅。S 门的作用效果如下：

S 门的矩阵形式为：

量子线路显示如下图:


假设 S 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上，可得到新的量子态如下：

从上面的表达式可以看出，S 门将量子态 $|1\rangle$ 的相位旋转了 $90^\circ$ 或 $\pi/2$ 弧度，而量子态 $|0\rangle$ 的相位保持不变。

T 门

T 门，也称为π/8门，是一种单量子比特量子逻辑门，它在量子计算中用于实现较小的相位旋转。T 门的作用是对量子态的|1⟩分量施加一个相位变换，而|0⟩分量保持不变。T 门的效果如下：

这里 $e^{i\pi/4}$ 是复平面单位圆上的一个点，表示相位旋转π/4。
T 门的矩阵形式为：

量子线路显示如下图:：

假设 T 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上，可得到新的量子态如下：

从上面的表达式可以看出，T 门将量子态 $|1\rangle$ 的相位旋转了 $45^\circ$ 或 $\pi/4$ 弧度，而量子态 $|0\rangle$ 的相位保持不变。

CNOT(Control-NOT) 门

CNOT 门，也称为控制非门，是一种双量子比特量子逻辑门，它在量子计算中用于实现量子比特之间的纠缠。CNOT 门有一个控制量子比特和一个目标量子比特。当控制量子比特为 |1⟩ 状态时，它将翻转目标量子比特的状态；如果控制量子比特为 |0⟩，则目标量子比特的状态保持不变。CNOT 门的作用效果如下：

CNOT 门的矩阵形式为：

量子线路显示如下图:

假设 CNOT 门作用在两个量子比特的任意态 $|\psi\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|01\rangle+\gamma|10\rangle+\delta|11\rangle$ 上，可得到新的量子态如下：

从上面的表达式可以看出，CNOT 门会根据控制量子比特的状态来翻转目标量子比特的状态。

SWAP 门

SWAP 门是一种双量子比特量子逻辑门，它在量子计算中用于交换两个量子比特的状态。SWAP 门的作用效果如下：

SWAP 门的矩阵形式为：

量子线路显示如下图:

假设 SWAP 门作用在两个量子比特的任意态 $|\psi\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|01\rangle+\gamma|10\rangle+\delta|11\rangle$ 上，可得到新的量子态如下：

从上面的表达式可以看出，SWAP 门会交换量子态 |01⟩ 和 |10⟩ 的状态，而量子态 |00⟩ 和 |11⟩ 保持不变。

iSWAP 门

iSWAP 门是另一种双量子比特量子逻辑门，它是 SWAP 门的一种变体。iSWAP 门不仅交换两个量子比特的状态，还引入了一个相对相位。iSWAP 门的作用效果如下：

iSWAP 门的矩阵形式为：

量子线路显示如下图:

假设 iSWAP 门作用在两个量子比特的任意态 $|\psi\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|01\rangle+\gamma|10\rangle+\delta|11\rangle$ 上，可得到新的量子态如下：

从上面的表达式可以看出，iSWAP 门会交换量子态 |01⟩ 和 |10⟩ 的状态，并在交换过程中引入一个相对相位, 量子态 |00⟩ 和 |11⟩ 保持不变。

Control-Z 门（CZ门）

Control-Z 门，也称为CZ门，是量子计算中的一种双量子比特量子逻辑门。CZ门的作用效果如下：

CZ门的矩阵形式为：

量子线路图如下所示：

假设有两个量子比特初始状态为 $|\psi\rangle=\alpha|00\rangle+\beta|01\rangle+\gamma|10\rangle+\delta|11\rangle$，当CZ门作用在这个态上时，新的量子态 $|\psi’\rangle$ 将会变为：

从上面的表达式可以看出，只有当两个量子比特都处于|1⟩态时，CZ门才会对量子态产生相位翻转。

Toffoli 门

Toffoli 门，也称为 CCNOT(CCX, TOFF) 门，是量子计算中的一种三量子比特量子逻辑门。Toffoli 门在量子电路中用于在两个控制比特都为 |1⟩ 态时，对目标比特执行 NOT 操作（即翻转其状态）。Toffoli 门的作用效果如下：

这里，前两个量子比特是控制比特，第三个量子比特是目标比特。只有当两个控制比特都为 |1⟩ 时，目标比特的状态才会发生翻转。

Toffoli 门的矩阵形式为：

具体的量子线路图如下所示：

假设有三个量子比特初始状态为 $|\psi\rangle=\alpha|000\rangle+\beta|001\rangle+\gamma|010\rangle+\delta|011\rangle+\epsilon|100\rangle+\zeta|101\rangle+\eta|110\rangle+\theta|111\rangle$，当Toffoli门作用在这个态上时，新的量子态 $|\psi’\rangle$ 将会变为：

从上面的表达式可以看出，只有当两个控制比特都处于 |1⟩ 态时，Toffoli门才会对目标比特的状态产生翻转。

测量操作

我们可以将测量视为一种量子门, 测量具有改变量子比特状态并确定其到底是0 还是1 的作用. 通过测量, 我们可以由量子比特所处的叠加态得到非0 即1 的经典比特的状态.

测量操作在线路上的显示如图:

直到测量的那一瞬间, 量子态才变为确定的状态.